MATEMATIKA

Borka Marinković

Brojevi i reči

Jezik matematike, jezik poezije

U hijerarhijskom redosledu apstraktnosti, muzički jezik je na vrhu, zatim sledi pesnički jezik a poslednji u ovom nizu je naučni jezik. Dvosmislenost je maksimalna u muzičkom, odsutna je u naučnom jeziku, a srednje je zastupljena u pesničkom i običnom jeziku.

Matematika i poezija se ne mogu prepričati. U ovim oblastima oba jezika otkrivaju istine i predstavljaju puteve koji vode razumevanju sveta i stvarnosti: matematika objektivne zakone, pesnički jezik subjektivne ljudske istine.
Jezik poezije i matematički jezik su univerzalni. Matematika komunicira jedinstvenim simboličkim jezikom a poezija koristi simbole za izražavanje emocija ili misli. Takođe, sadrži univerzalne slike. U oba jezika, znakovi i slike su više od doslovnog značenja. I matematika i poezija koriste iste reči: brojeve, beskonačnost, haos, krug, sfera, piramida, refleksija, simetrija, kriva (linija) itd.  U pesničkom izrazu radi se o simboličkom i metaforičkom značenju.
Matematika i poezija baziraju se na utvrđenoj strukturi i poštuju određenu formu. U matematici su to aksiomi, tvrđenja, dokazi... a pesnički jezik ima ritam, strofu, rimu, metar. Matematički pojam “zlatni presek” zastupljen je u rasporedu  pesničkih slika ili prelomu stihova. Fibonačijev niz (1, 1, 2, 3, 5, 8, 13…) u poeziji je broj slogova. U oba jezika prisutni su ritam i harmonija koji grade sklad.

Matematika u poeziji može biti skrivena u strukturi ili otvorena u metafori. Ona daje pesmi preciznost i unutrašnju muziku, dok poezija matematici daje emotivnu dubinu i simboliku. Neki pesnici su koristili  matematičke pojmove u svojim pesmama: Miroslav Antić i Branko Miljković su ponekad koristili brojeve i geometrijske slike za izražavanje filozofskih ideja. Engleski pesnik Vilijem Blejk je, u “The Tyger” koristio simetriju kao metaforu za božansku ravnotežu lepote i straha. Američka pesnikinja Marijana Mur koristila je matematičke razmere u stihovima, a Žak Prever je jednoj pesmi dao naslov „ Dva i dva su četiri”.

Logička gustina - sugestiva gustina

Knjiga  „Matematička poetika” iz 1974. rumunskog matematičara Solomona Markusa istražuje teorijske osnove suprotnosti između matematičkog i pesničkog jezika. U njoj se navodi da jezik u matematici svodi na minimum sve ono što je strano logičkim operatorima, neophodnim u iskazima i dokazima. Sažeti lirski izraz ima sugestivni karakter i omogućava otkrivanje novih sfera ljudskih emocija. Na primer, beskonačnost upotrebe sinonima - odsutnost sinonima. Matematički jezik koristi ekvivalenciju u odnosu prema datom kontekstu, zapravo u njenom širem smislu. Pesnik u potrazi za određenim izrazom vrši za njega najbolji izbor.
Odsutnost homonima - beskonačnost homonima. Matematički izraz je zatvoren, ne zavisi od osobe koja ga prima, nema dvosmislenosti. Pesnički jezik je otvoren, dvosmislen. Italijanski književnik, filozof, estetičar, semiolog, esejista i teoretičar književnosti Umberto Eko (1932-2016) bavio se stepenima  otvorenosti u poeziji.
Opšte-pojedinačno - tendencija matematičkog jezika ka veštačkom i opšteprihvaćenom izraz je objektivnog, opšteg i univerzalnog karaktera. Nasuprot takvom značenju, poetsko značenje je subjektivno i pojedinačno.
Prevodljivo-neprevodljivo.Matematički jezik je univerzalan i objektivan, prevodljiv s jednog prirodnog jezika na drugi. Pesnički jezik je mnogo teže prevodljiv, pre svega zato što je poetsko značenje više lično, subjektivno.
Značenje u matematici je utvrđeno u prostoru i postojano je u vremenu. Nasuprot tom značenju, poetsko značenje je različito ne samo od mesta do mesta, od pojedinca do pojedinca već i od trenutka do trenutka. Poetski  jezik  se može  porediti sa vodom reke koja neprestano teče, ili sa ljudskim licem koje se menja u vremenu.

Prebrojivo-neprebrojivo

Matematički jezik ima beskonačno mnogo jedinstvenih značenja, pa se radi o beskonačnom ali prebrojivom skupu. Poetskih značenja ima takođe beskonačno, i ona su neprebrojiva jer postoji bar onoliko različitih značenja nekog pesničkog izraza koliko i momenata u životu čoveka od časa primanja tog izraza. Diskretnost matematičkih značenja stoji nasuprot kontinualnosti poetskih značenja.
Nemački matematičar Georg Kantor (1845-1918) je zaokružio Teoriju brojeva uvodeći matematičku beskonačnost. Skupovi prirodnih, celih i razlomaka brojeva, su prebrojivi beskonačni skupovi jer je moguće uvek odrediti sledećeg člana u ovim skupovima. Skup realnih brojeva je neprebrojiv beskonačni skup jer između svaka dva člana skupa postoji beskonačno mnogo članova.

Prozirno-neprozirno

Matematika, otkrivajući sebe, otkriva svemir. Pesnici u svom jeziku mogu videti ne samo odraz spoljašnje stvarnosti već i svet koji je od interesa sam po sebi, materijal za gradnju i oblikovanje, da bi na kraju svog napora otkrili svemir od kog su i pošli.

Tranzitivno-refleksivno

Matematički jezik dopušta da se neko značenje prenosi netaknuto zahvaljujući njegovoj objektivnoj prirodi i činjenici da svako može da na svom jeziku nađe ekvivalent originalu. Poetsko značenje je refleksivno, okrenutost pesme prema sebi nije znak pesnikove ravnodušnosti prema publici već teškoće prevođenja sa originalnog jezika.

Rutina-stvaralaštvo

Matematički jezik je u terminologiji i notaciji prihvatljiv uobičajenom, ali  matematičko rešavanje problema, na drugoj strani, zahteva kreativnost. Poezija je u izboru izraza stvaralačka, inovativna i neočekivana koliko god da ima šablona i stereotipa i u pesničkom jeziku.

Objašnjivo, trezvenost - neizrecivo,zanos

U matematičkom jeziku prevladavaju objašnjivi elementi koji iziskuju trezvenost dok su u pesničkom jeziku najviše zastupljeni neizrecivi elementi koji nose zanos.
Prema američkom matematičaru Birkhofu, mera (M) estetskog uživanja izražena je formulom M=O/C, gde je O mera uređenosti elemenata koji grade neko delo, a C mera njegove složenosti. Ideju takvog odnosa Birkhof nalazi u Hemsterhuisovoj misli:„Lepota je ono što daje najviše ideja u najmanjem vremenskom razmaku.”
U 21. veku, naglim razvojem hardvera i softvera, stekli su se uslovi za korišćenje računara u obradi prirodnog jezika (NLP - Natural Language Processing).To je most između računara i ljudskog jezika,od naučnog i pesničkog do svakodnevnog. Načini na koji se vrši obrada jezika su višestruki: od prikupljanja i učenja iz podataka, razumevanja značenja, proučavanje strukture jezika do modela predviđanja. Teorijske osnove proučavanja veza između matematičkog i poetskog jezika koje su postavljene u 20. veku, gde je fokus bio na vezi u strukturi i apstrakciji, sa razvojem NLP pretrpele su  revizije. Pojavila su se nova pitanja:

• Statističko razumevanje jezika: AI je pokazala da se i svakodnevni i pesnički jezik mogu modelovati verovatnoćama i obrascima pojavljivanja reči - nešto što je ranije izgledalo isuviše „neuhvatljivo“.
• Semantičke mreže: značenje reči više se ne posmatra izolovano već kao deo vektorskog prostora gde bliske reči imaju slična značenja (npr. ljubav ↔ nežnost).
• NLP modeli pokazuju da i metaforički jezik može biti „uhvaćen“ kroz distribucione obrasce, što ranije nije bilo jasno.
• Formalizacija poezije: poezija se može analizirati matematički, kroz modele ritma i mreže slika, pa čak i generisati algoritamski. NLP je pokazao da se i najsuptilniji oblici jezika (metafora, ritam, višeznačnost) mogu posmatrati kroz matematičke modele, čime se pesnički i matematički jezik dodatno približavaju.

Borka Marinković

PODSEĆANJE

Zoran Marković, ne samo matematičar

Najteže je odlučiti se

Kroz istoriju se često sreću porodice koje su ostavile snažan trag u nauci,  umetnosti i društvu uopšte. Takve porodice prenosile su znanja, vrednosti i radne navike s generacije na generaciju, stvarajući okruženje u kome je razvoj talenta bio prirodan, gotovo očekivan. Poznate su porodice matematičara Bernulijusa, fizičara Kiria, pisaca Mana i Bronteovih, muzičara Štrausa, Mendelsona….
Kod nas je porodica Marković takav primer. 

Marković je pohađao Muzičku akademiju, odsek za obou. Bio je posvećen muzici, ali se odlučio za studije matematike. Posle završenih osnovnih i postdiplomskih studija u Beogradu, odbranio je doktorsku tezu na  Univerzitetu u Pensilvaniji, SAD. Od 1972. bio je zaposlen je u Matematičkom institute SANU, a od 1985. bio  je na njegovom čelu sve do 2014. Tokom skoro 30 godina, spajao je naučni rad, vizionarsko rukovođenje i stvaranje institucionalnih temelja koji i danas određuju izgled Matematičkog instituta SANU. Institut pod njegovim vođstvom bio je čvrsta organizacija, sloboda istraživanja i osećaj zajedništva. Za njega se često govorilo da je „uvek tu“, čak i kad se ne vidi. Njegovo rukovođenje bilo je nenametljivo i promišljeno. Bio je direktor koji stvara uslove.
Tokom rada u Institutu, uveo je IBM PC računare, postavio osnovu računarskog centra i razvio interne informacione sisteme… Podstakao je učestvovanje u evropskim projektima i saradnju sa vodećim svetskim institucijama... Otkrio je mlade talentovane matematičare i podržavao ih upućujući jednu od svojih karakterističnih rečenica:„Mislim da u tebi ima mnogo više nego što trenutno pokazuješ. Hajde da nađemo način da to izađe na videlo.“… Zajedno sa  nemačkim matematičarem Ciglerom postavio je temelje manifestacije Maj mesec matematike 2012. u Srbiji i uključio Institut u njegovu organizaciju. Manifestacija je postala tradicionalna.
Njegov naučni rad obuhvata logiku, teoriju dokaza i rane modele veštačke inteligencije. Bio je među pionirima uvođenja koncepata AI u akademsku sredinu nekadašnje Jugoslavije, u vreme kada se taj pojam probijao iz laboratorija u širu naučnu zajednicu. Objavio je radove koji su uticali na razvoj logičkih sistema, formalnih jezika i algoritama zaključivanja. Predavao je na univerzitetima u Kragujevcu i Beogradu, bio je gostujući profesor na univerzitetima Berkli i Dejvis, kao i na više univerziteta u Evropi predavajući matematičku logiku, algebru, teoriju algoritama i teorija formalnih jezika i automata.
Među njegovim kolegama, često se prepričava jedno njegovo predavački iskustvo… Neki mladi student, na početku master studija, prikupio je hrabrost da postavi pitanje. Ali dok je govorio, počeo je zastaje i prepravlja sopstvene rečenice. Na kraju je stao i rekao: „Izvinite… verovatno je ovo glupo pitanje.“
Zoran je ustao, prišao tabli, okrenuo se prema studentu i rekao: „U nauci jedino glupo pitanje je ono koje ostane nepostavljeno.“ Na kraju predavanja Zoran se obratio još uvek pomalo zbunjenom student: „Ako ne pitate, neću znati šta treba da naučim da objasnim bolje.“
Jedan mlađi kolega je napisao: „Kada sam stigao ispred Zoranove kancelarije, vrata su bila pritvorena. Uhvatio sam dah, pokucao i zavirio unutra. Zoran je sedeo za stolom, ali nije radio ono što sam očekivao. Ispred njega nije bio kompjuter, nije bilo hrpe papira. Čitao je neku knjižicu nekog starog filozofa. Držao ju je obema rukama, kao da čuva nešto krhko. Podigao je pogled: „Dođi, uđi“. Pružio sam mu svoj rukopis, već malo spreman za izvinjenje. On ga je primio pažljivo, kao da mu predajem nešto značajno, i odložio ga na sto. „Sjajno je što si ovo doneo“, rekao je iako ga nije ni otvorio. „Najvažnije je da si dovoljno hrabar da pokažeš to što si napisao.“  A onda je dodao: „Znaš, ponekad najteži deo posla nije dokaz nego to da čovek odluči da ga podeli sa svetom.“
Sarađivao je sa Filozofskim fakultetom na projektu o Platonu i Aristotelu i njihovom razumevanju matematike. Zoran Marković je dobitnik više nagrada. Posebno se izdvajaju Nagrada SANU za matematičke nauke (2013) i Povelja MI-SANU povodom 75 godina Instituta (2021). 

Kompletni tekstove sa slikama i prilozima potražite u magazinu
"PLANETA" - štampano izdanje ili u ON LINE prodaji Elektronskog izdanja
"Novinarnica"