MATEMATIKA

Borka Marinković

Fermaova teorema

Dokaz u izolaciji i tajnosti

Francuski matematičar Pjer de Ferma bio je pravnik po obrazovanju, ali se ozbiljno bavio matematikom; za njega je rečeno da je matematičar među amaterima, dok je   on sebe smatrao amaterom među matematičarima. Posle njegove smrti 1665. njegov sin je, na margini jednog rada njegovog oca upućenog kolegi, pročitao interesantno matematičko tvrđenje bez dokaza: “Ne postoje pozitivni celi brojevi x,y,z i prirodan broj n>2 takvi da važi  xn +yn  =zn “. Iako deluje da je ova teorema jednostavno za dokazivanje, dokaz je bio izazov i problem matematičarima duže od tri i po veka.

Mladog  Paula Volksfela odbila je gospođica u koju je bio zaljubljen. Duboko razočaran, nije video smisao daljeg življenja pa se odlučio na samoubistvo. Pošto  je bio veoma sistematičan, odredio je precizan termin za samoubistvo, prethodno napisavši oproštajno pismo. Nekoliko sati pre kobnog trenutka, odlučio je da provede vreme u biblioteci čitajući knjige. Ugledao je  Fermaovu poslednju teoremu koja ga je zainteresovala toliko da je, čitajući, zaboravio na termin. Volksfel je zaključio da je sudbina odlučila da nastavi život.
U znak zahvalnosti, ostavio je testamentom nagradu od 100.000 nemačkih maraka onome ko prvi dokaže teoremu - a koja neće biti oborena u naredne dve godine. Rok za dodelu nagrade je bio 2007.godine - 100 godina od važenja testamenta.
Istina je ipak nešto drugačija. Paul potiče iz imućne porodice bankara. Završio je medicine. Ali, pošto je oboleo od multiple skleroze, shvatio je da neće moći da obavlja lekarsku praksu. Zato je nastavio studije matematike u Berlinu, gde mu je jedan od predavača bio čuveni Ernest Kumer (1810-1893). Preko Kumera je upoznao teoriju brojeva, a svakako je znao i za poslednju Fermaovu teoremu i Kumerove neuspele pokušaje da je dokaže. Zbog teške bolesti, od koje je na kraju bio paralizovan, Volksfel je imao sumoran život i zaista je patio od depresije. Jedina svetla tačka mu je bila matematika koju je iskreno zavoleo. To je verovatno i bio razlog njegovog zaveštanja..
Raspisivanje ove nagrade je pobudilo veliko interesovanje i pravu poplavu dokaza. Samo prve godine, u Akademiji nauka u Getingemu (kao izvršiocu nagrade) stigao  je 621 rad, a prema nekim procenama prospelih radova ima više od 5000 (i dalje stižu 3-4 rada mesečno).

Funkcije izuzetno “uređene”

Britanski matematičar Endru Vajls (Andrew Wiles) je dokazao poslednju Fermovu teoremu 1993. godine, koristeći napredne metode moderne matematičke teorije, koje Ferma u svoje vreme nije mogao ni da zamisli. Dokaz koji je Vajls dao je izuzetno složen i temelji se na višedecenijskom razvoju matematike, koristeći modularne forme koje se javljaju u Teoriji struna.
Modularne forme su specijalne složene funkcije koje zadovoljavaju stroga pravila simetrije i glatkoće. One se ponašaju na veoma strukturisan način, pod delovanjem tzv. modularne grupe, što ih čini izuzetno ”uređenim” funkcijama. Vajls nije direktno dokazivao Fermaovu teoremu već je dokazao poseban slučaj tzv. Tanijama-Šimura (Taniyama-Shimura-Weils) hipoteze (danas poznate kao modularna hipoteza) koje kažu da je svaka eliptička kriva definisana nad racionalnim brojevima - modularna.
Posle odbranjenog doktorata na Kembridžu, Endru  je dobio mesto profesora  na Univerzitetu u Prinstonu. Tada je više znao o eliptičnim jednačinama, ali je bio potpuno svestan da je, čak i sa tolikim predznanjem i matematičkim umećem, prihvatanje Fermaovog izazova veliki rizik. Od trenutka kada se otisnuo u dokazivanje, Vajls je doneo za njega veoma važnu, ali za matematičare koji razmenjuju iskustva i sarađuju neobičnu odluku da radi na dokazu u potpunoj izolaciji i tajnosti.
Da bi dokazao poslednju Fermaovu teoremu, Vajls je morao da dokaže vezu Tanijama-Šimura: svaka eliptična jednačina mora biti u korelaciji sa nekom modularnom formom. Prethodni pokušaji matematičara da se dokaže ova pretpostavka svodili su se na dokaz da je broj eliptičnih jednačina i modularnih formi jednak. Pošto i jednih i drugih ima beskonačno, to nije bilo moguće. Računar bi mogao da pomogne u proveri pojedinačnih ali ne i svih slučajeva. 

Slučaj obaranja svih domina

Posle godinu dana razmišljanja, Vajls je odlučio da iskoristi postupak matematičke indukcije kao bazu za svoj dokaz.

1. Dokazati da je tvrđenje istinito za prvi slučaj (n=1)
2. Dokazati da, ako je tvrđenje istinito, za bilo koji slučaj (pretpostavka n)
3. Tvrđenje mora biti istinito za sledeći slučaj (n+1)

Postupak dokazivanja matematičkom indukcijom može se bolje razumeti ako se slučajevi predstave dominama. Da bi se dokazali svi slučajevi, neophodno je pronaći način rušenja svake domine pojedinačno. Obaranje svih domina jedne po jedne nije moguće u slučaju beskonačnog broja domina. Dokaz indukcijom dozvoljava da se sve obore, ukoliko se obori samo jedna, i to prva. Ako su domine pažljivo poređane, tada će prva oboriti drugu, druga treću itd… dok se sve ne obore. Dokaz indukcijom pokreće domino efekat.
Za Vajlsa je bio izazov da indukcijom dokaže da svakoj od beskonačno mnogo eliptičnih jednačina odgovara neka od beskonačno mnogo modularnih formi. Morao je da rastavi dokaz na beskonačan broj pojedinačnih slučajeva i tada da dokaže prvi slučaj. Zatim, morao je da pokaže da bi, pošto je dokazao prvi slučaj, svi ostali slučajevi bili takođe rešeni.
Prvi i glavni korak svog induktivnog dokaza našao je prikrivenog u konceptu Teorije grupa  Everista Galoa (1811-1832). Vajls je time napravio matematički podvig, vredan publikovanja. Posle sedam godina napora, Vajls je kompletirao dokaz 1993, na konferenciji u Institutu ”Isak Njutn” u Kembridžu. U nizu predavanja prezentovao je dokaz pred najvećim matematičarima sveta. Tada je matematika prvi put ušla u glavne vesti medija.

Akademski protokoli zahtevaju da matematičar preda kompletan rad u visoko rangirani časopis, koga zatim urednik šalje timu recenzenata da ga detaljno pregledaju. Posle ispravljenih grešaka, dokaz je 1994. prihvaćen. Vajlsu je dodeljena  nagrada od 75.000 maraka zbog velike inflacije u Nemačkoj, 1933. Da se ona nije dogodila, nagrada bi iznosila čak 1.700.000 maraka!

Borka Marinković

Kompletni tekstove sa slikama i prilozima potražite u magazinu
"PLANETA" - štampano izdanje ili u ON LINE prodaji Elektronskog izdanja
"Novinarnica"